평균적으로 3.5가 나온다는데, 왜 주사위에는 없을까?확률분포와 기댓값

안녕하세요, DECHIVE입니다.

공정한 주사위를 한 번 던지면 1부터 6까지 숫자 중 하나가 나옵니다. 그런데 이 주사위의 기댓값은 3.5라고 합니다.

주사위 어디에도 3.5는 없습니다. 그렇다면 이 숫자는 무엇을 예상한다는 뜻일까요?

‘기댓값’이라는 이름 때문에 다음번에 나올 법한 숫자라고 생각하기 쉽습니다. 하지만 기댓값은 다음 결과를 찍는 숫자가 아닙니다. 여러 가능한 결과와 각각의 확률을 하나의 평균으로 요약한 값입니다.

이번 글에서는 가능성을 펼쳐 보여주는 확률분포와 그 분포를 평균으로 요약하는 기댓값을 구분해보겠습니다.

한 문장으로 먼저 정리하면

확률분포는 어떤 값이 얼마의 확률로 나올 수 있는지 나타내고, 기댓값은 그 값들에 각각의 확률을 곱해 더한 가중평균입니다.

먼저 어떤 숫자를 관찰할지 정해야 합니다. 주사위를 던져 윗면의 눈을 기록한다고 하면, 그 숫자를 확률변수 X라고 부를 수 있습니다.

확률변수는 이 예시에서 우연한 결과를 숫자로 나타내는 규칙입니다. 던지기 전에는 값이 정해져 있지 않지만, 가능한 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6으로 정해져 있습니다.[1]

‘메일의 종류’처럼 숫자가 아닌 결과를 다룰 수도 있습니다. 다만 기댓값을 계산하려면 무엇을 숫자로 나타낼지 정의해야 합니다. 스팸 여부를 0과 1로 나타내는 것과, 메일 처리에 걸린 시간을 분으로 나타내는 것은 서로 다른 확률변수입니다.

확률분포는 가능한 값과 확률을 함께 보여줍니다

각 눈이 나올 확률이 같은 공정한 주사위를 가정해봅시다. 분포는 다음 표로 나타낼 수 있습니다.

값만 적으면 ‘무엇이 가능한지’를 알 수 있습니다. 확률까지 적어야 ‘각 값이 얼마나 가능성이 있는지’도 알 수 있습니다.

이처럼 값을 하나씩 셀 수 있는 이산확률분포에서는 각 확률이 0 이상이고, 가능한 모든 값의 확률을 더하면 1이 됩니다.[1]

주사위 예시에서는 1/6을 여섯 번 더하므로 합이 1입니다. 백분율로는 각 눈이 약 16.7%이지만, 계산할 때는 반올림한 값 대신 정확한 1/6을 사용하는 편이 좋습니다.

여기서 주의할 점이 있습니다. 확률분포는 여섯 번 던지면 각 눈이 반드시 한 번씩 나온다는 시간표가 아닙니다. 같은 숫자가 연속으로 나올 수도 있고, 어떤 눈은 한동안 나오지 않을 수도 있습니다.

기댓값은 값마다 확률만큼 무게를 주는 계산입니다

유한한 이산확률변수의 기댓값은 다음과 같이 계산합니다.

E[X] = Σₓ x × P(X = x)

Σ는 각 항을 모두 더하라는 뜻입니다. 가능한 값에 그 값의 확률을 곱한 뒤, 그 결과를 합칩니다.[2]

주사위에 적용하면 다음과 같습니다.

E[X] = 1 × (1/6) + 2 × (1/6) + 3 × (1/6) + 4 × (1/6) + 5 × (1/6) + 6 × (1/6) = 3.5

이번에는 모든 확률이 같아서 1부터 6까지 더한 뒤 6으로 나누기와 결과가 같습니다.

하지만 결과들의 확률이 다르면 가능한 숫자만 더해서 개수로 나누면 안 됩니다. 자주 나올 값에는 더 큰 무게를, 드물게 나올 값에는 더 작은 무게를 주어야 합니다. 그래서 기댓값을 확률로 가중한 평균이라고 부릅니다.

3.5는 다음 눈이 아니라 반복한 결과의 평균과 연결됩니다

주사위를 여러 번 던지고 나온 눈의 합을 던진 횟수로 나눠봅시다. 이것이 실제 관측값의 평균입니다.

공정한 주사위를 같은 조건에서 독립적으로 반복해서 던지면, 시행 횟수가 커질수록 이 평균이 기댓값 3.5에 가까워진다는 성질이 있습니다. 이것이 큰 수의 법칙과 연결되는 해석입니다.[2]

다만 세 가지를 구분해야 합니다.

• 한 번 던져 나오는 값은 여전히 1부터 6 중 하나입니다.
• 유한한 횟수의 평균이 정확히 3.5일 필요는 없습니다.
• 던질 때마다 평균이 3.5에 더 가까워지는 것도 아닙니다.

기댓값은 다음 눈이 3이나 4에 더 가깝게 나온다는 뜻도 아닙니다. 공정한 주사위에서는 1과 6도 각각 3이나 4와 같은 확률로 나옵니다.

아직 던지지 않은 시행을 앞선 결과에 맞춰 보정해주는 장치도 없습니다. 독립적인 공정한 주사위에서 6이 연속으로 나왔다고 다음번 1의 확률이 커지지는 않습니다.

가장 자주 나올 값과 기댓값은 다를 수 있습니다

이번에는 자동화 작업 한 건에 필요한 추가 확인 시간을 생각해봅시다. 아래 숫자는 실제 서비스의 측정값이 아니라 설명을 위해 DECHIVE가 만든 가상 분포입니다.

기댓값은 다음과 같습니다.

E[X] = 0 × 0.5 + 2 × 0.4 + 10 × 0.1 = 1.8분

이 예시에서 가장 자주 나올 값은 0분입니다. 하지만 기댓값은 1.8분입니다. 드물게 발생하는 10분짜리 확인 작업도 평균에 반영되기 때문입니다.

그리고 분포에서 실제로 가능한 값은 0분, 2분, 10분으로 한정했습니다. 따라서 이 가정 아래에서는 한 건에 정확히 1.8분이 걸리는 경우도 없습니다.

가장 가능성이 높은 결과를 묻는 질문과 평균적으로 얼마를 예상할지 묻는 질문은 다릅니다. 필요한 답에 따라 분포의 다른 정보를 읽어야 합니다.

AI가 보여주는 예측값도 무엇을 요약한 것인지 봐야 합니다

AI 서비스가 ‘처리 시간 2분’처럼 숫자 하나를 보여준다고 해봅시다. 그 숫자는 모델이 직접 예측한 값일 수도 있고, 여러 가능성의 평균이나 중앙값, 다른 기준으로 고른 값일 수도 있습니다.

따라서 숫자 하나가 보인다는 이유만으로 기댓값이라고 부르면 안 됩니다. 어떤 대상을 예측했고, 어떤 방식으로 계산했는지 확인해야 합니다.

여러 범주의 확률을 보여주는 경우도 마찬가지입니다. ‘고양이 60%, 강아지 30%, 기타 10%’에서 가장 높은 확률의 범주는 고양이입니다. 하지만 범주 이름을 임의로 1, 2, 3으로 바꾸고 평균을 계산한다고 해서 의미 있는 ‘평균 동물’이 생기는 것은 아닙니다.

반대로 스팸이면 1, 정상이면 0으로 나타낸 변수는 의미를 정해두었으므로 기댓값을 해석할 수 있습니다. 이 변수의 기댓값은 1 × 스팸 확률 + 0 × 정상 확률, 즉 스팸 확률과 같습니다.

AI가 제시한 확률 자체가 현실과 잘 맞는지는 별도의 검증 대상입니다. 분포를 올바르게 계산하는 것과 그 분포가 현실을 잘 설명하는 것은 다른 문제입니다.

기댓값 하나로 판단하기 전에 분포를 확인하세요

기댓값은 여러 가능성을 하나의 숫자로 줄여주므로 편리합니다. 하지만 그 과정에서 개별 결과의 모습은 가려집니다.

예를 들어 추가 확인 시간이 늘 2분인 경우와, 절반은 0분이고 절반은 4분인 경우의 기댓값은 모두 2분입니다. 평균은 같지만 실제 작업에서 겪는 상황은 다릅니다.

모든 작업이 2분 이내에 끝나야 한다면 이 차이는 중요합니다. 기댓값만 보고 두 방식을 같다고 판단하면 마감 시간을 넘기는 경우를 놓칠 수 있습니다.

따라서 예측을 사용할 때는 다음을 함께 확인하는 편이 좋습니다.

• 어떤 값들이 가능한가?
• 각각의 확률은 얼마인가?
• 표시된 숫자는 기댓값인가, 다른 기준의 예측값인가?
• 오래 걸리거나 크게 틀리는 경우는 얼마나 가능한가?
• 그 확률은 어떤 자료와 조건에서 추정했는가?

분포의 퍼짐을 숫자로 설명하는 분산과 표준편차는 다음 글에서 이어서 다루겠습니다.

연속적인 값에도 같은 표를 쓰면 될까요?

주사위 눈처럼 값을 하나씩 셀 수 있는 경우에는 각 값의 확률을 표와 막대로 나타낼 수 있습니다.

반면 시간을 이상적인 연속값으로 모델링하면 구간의 확률을 다루게 됩니다. 연속확률분포의 밀도 그래프에서는 곡선의 높이가 특정 값 하나의 확률을 뜻하지 않습니다. 구간 아래의 면적이 그 구간에 들어갈 확률을 나타냅니다.[3]

이번 글의 계산은 유한한 이산분포에 맞춘 것입니다. 확률분포가 언제나 개별 값의 확률을 적은 표로만 표현된다고 생각하지 않으면 충분합니다.

흔한 오해

“기댓값은 다음에 가장 잘 나올 값이다.” 기댓값은 확률로 가중한 평균입니다. 가장 높은 확률의 값과 다를 수 있습니다.

“기댓값은 실제로 가능한 값이어야 한다.” 공정한 주사위의 기댓값은 3.5지만, 한 번 던져 3.5가 나올 수는 없습니다.

“가능한 숫자를 모두 더해 개수로 나누면 된다.” 각 값의 확률이 같을 때 사용할 수 있는 계산입니다. 확률이 다르면 그 차이를 반영해야 합니다.

“반복하면 매번 기댓값에 더 가까워진다.” 관측 평균은 중간에 더 멀어질 수도 있습니다. 장기적인 성질을 매 시행의 보장으로 해석하면 안 됩니다.

“기댓값이 같으면 실제 상황도 비슷하다.” 평균이 같아도 가능한 결과와 그 확률은 다를 수 있습니다. 중요한 조건을 충족하는지는 분포를 더 봐야 합니다.

그래서 무엇을 기억해야 할까요?

확률분포는 가능한 결과들을 펼쳐 보여줍니다. 기댓값은 그 결과에 각각의 확률을 곱해 하나의 평균으로 요약합니다.

공정한 주사위의 기댓값 3.5는 다음에 나올 눈을 뜻하지 않습니다. 같은 조건에서 독립적으로 반복했을 때 관측 평균이 가까워지는 기준입니다.

가장 자주 나올 값, 실제로 가능한 값, 평균을 나타내는 값은 서로 다를 수 있습니다. AI가 제시한 숫자를 읽을 때도 이 구분이 필요합니다.

숫자 하나를 받아들이기 전에, 어떤 가능성들을 어떤 기준으로 요약한 값인지 확인하세요.

기댓값은 유용한 출발점입니다. 다만 실제 판단에 필요한 다른 가능성까지 대신 보여주지는 않습니다.

확인한 자료

1. Penn State STAT 414 — Discrete Random Variables: 이산확률변수와 확률분포.
2. OpenStax — Mean or Expected Value and Standard Deviation: 기댓값의 계산과 장기 평균 해석.
3. Penn State STAT 500 — Probability Distributions: 이산분포와 연속분포, 밀도와 확률의 구분.

자동화 작업 시간의 수치는 설명용 가상 예시이며, 실제 서비스의 성능이나 측정 결과를 나타내지 않습니다.